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3. Associative property For example:

While adding three rational numbers, they can æ 3 ö æ 3 0ö ( 3 + 0) 3
(i) ç + 0÷ = ç + ÷ = =
be grouped in any order. è 5 ø è 5 5ø 5 5
a c
æ
Thus, for any three rational numbers , and and similarly, 0 + 3ö 3
÷ =
b d ç 5ø 5
è
e
, we have æ 3 ö æ 3ö 3
f Therefore, ç + 0÷ = ç 0 + ÷ =
è 5 ø è 5ø 5
æ a c ö e a æ c ö e
ç + ÷ + = + ç + ÷ æ -2 ö æ -2 0 ö ( - + ) -2
0
2
è b d ø f b èd ø f (ii) ç + ÷ = ç + ÷ = =
0
è 3 ø è 3 3 ø 3 3
For example: æ - 2ö -2
and similarly, 0 + ÷ =
ç
Consider three rational numbers -2/3, 5/7 and è 3 ø 3
1/6 Then, æ -2 ö æ - ö -2
2
0
Therefore, ç + ÷ = ç0 + ÷ =
æ ì -2 5 ö 1 ü ì - ( 14 + 15 ) 1 ü è 3 ø è 3 ø 3
ç í + ÷ + ý = í + ý
î è 3 7 ø 6 þ î 21 6 þ
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æ 1 1 ö (2 + ) Existence of additive inverse
= ç + ÷ = a
è21 6 ø 42 For every rational number , there exists a
9 3 b
= = -a
42 14 rational number
ì -2 æ5 1 öü b
and í + ç + ÷ý a - {a + - )} 0
a
(
æ
î 3 è7 6 ø þ such that ç + a ö = = = 0 and
÷
ì -2 ( 30 + 7) ü è b b ø b b
= í + ý æ -a a ö
î 3 42 þ similarly, ç + ÷ = 0.
è b b ø
æ -2 37 ö
= ç + ÷ æ a - a ö æ -a a ö
è 3 42 ø Thus, ç + ÷ = ç + ÷ = 0.
- ( 28 + 37 ) è b b ø è b b ø
=
42 -a is called the additive inverse of a
9 b b
=
42 For example:
3
= æ 4 - 4 ö {4 + - )} 0
(
4
14 ç + ÷ = = = 0 and similarly,
Therefore, è 7 7 ø 7 7
æ -4 4 ö
æ ì -2 5 ö 1 ü ì -2 æ5 1 öü ç + ÷ = 0
ç í + ÷ + ý = í + ç + ÷ý è 7 7 ø
î è 3 7 ø 6 þ î 3 è7 6 ø þ
4 -4
Thus, and are additive inverses of
Existence of additive identity 7 7
each other.
0 is a rational number such that the sum of any
rational number and 0 is the rational number
Properties of Subtraction of Rational
itself.
Numbers
æ a ö æ a ö a
Thus, ç + ÷ 0 = ç0 + ÷ = , for every rational
è b ø è b ø b 1. Closure property
number a/b The difference of two rational numbers is
0 is called the additive identity for rational always a rational number.
numbers.
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Mathematics In Focus - 8