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1 2 2 1 æ1 1 ö 1 1 æ1 1 ö
L.H.S. = + R.H.S. = + L.H.S. = ç + ÷ + R.H.S. = + ç + ÷
2 3 3 3 è 4 ø 2 5 4 è 2 ø 5
3 + 4 7 4 + 3 7 æ1 + ö 2 1 1 æ 5 + ö 2
= = = = = ç ÷ + = + ç ÷
6 6 6 6 è 4 ø 5 4 è 10 ø
L.H.S. = R.H.S. 3 1 1 7
= + = +
4 5 4 10
(ii) Com mu ta tive prop erty of ra tio nal
15 + 4 19 5 + 14 19
numbers with respect to = = = =
20 20 20 20
multiplication
L.H.S. = R.H.S.
According to commutative property of
p
multiplication, for any two rational numbers (ii) Associative property of rational
q numbers with respect to
r
and we have: mul ti pli ca tion:
s
According to associative property of
p r r p
´ = ´ multiplication, for any three rational numbers
q s s q p r t
, and we have:
Ex am ple 11. Prove that q s u

æ 2 ö 1 1 æ 2 ö æ p r ö t p r æ t ö
ç - ÷ ´ = ´ - ÷ ç ´ ÷ ´ = ´ ç ´ ÷
ç
è 5 ø 4 4 è 5 ø è q sø u q s è u ø
So lu tion : Ex am ple 13. Prove that
3
æ 2 ö 1 1 æ 2 ö æ 2 1 ö -3 2 æ1 - ö
ç
ç - ÷ ´ = ´ - ÷ ç - ´ ÷ ´ = - ´ ç ´ ÷
è 5 ø 4 4 è 5 ø è 3 2 ø 4 3 è 2 4 ø
3
æ 2 ö 1 1 æ 2 ö æ 2 1 ö -3 2 æ1 - ö
ç
L.H.S. = - ÷ ´ R.H.S. = ´ - ÷ So lu tion : - ´ ÷ ´ = - ´ ç ´ ÷
ç
ç
è 5 ø 4 4 è 5 ø è 3 2 ø 4 3 è 2 4 ø
2 1 2 1
= - = - = - = - L.H.S. R.H.S.
20 10 20 10 æ 2 1 ö -3 2 æ1 - ö 3
= - ´ ÷ ´ = ´ ç ´ ÷
ç
L.H.S. = R.H.S. è 3 ø 2 4 3 è 2 4 ø
1 3 1 2 3 1
Re sult : Com mu ta tive prop erty with re spect = - ´ = = ´ =
3 4 4 3 8 4
to ad di tion and mul ti pli ca tion holds true for
ra tio nal numbers. L.H.S. = R.H.S.
2. Associative Property Re sult : As so cia tive prop erty with re spect to
(i) Associative property of rational ad di tion and mul ti pli ca tion holds true for
ra tio nal numbers.
num bers w.r.t. ad di tion
p r t 3. Distributive Property
Consider that , and are three rational
q s u Dis trib u tive prop erty of mul ti pli ca tion
numbers, then according to the associative over ad di tion and sub trac tion
property of addition, we have : Now again consider the three rational
æ p r ö t p r æ t ö p r t
ç + ÷ + = + ç + ÷ numbers , and then according to the
è q sø u q s è u ø q s u
distributive property:
Ex am ple 12. Prove that
p r æ t ö æ p r ö æ p t ö
æ 1 1ö 1 1 æ 1 1ö (a) ´ ç + ÷ = ç ´ ÷ + ç ´ ÷
ç + ÷ + = + ç + ÷ q s è u ø è q sø è q u ø
è 4 2 ø 5 4 è 2 5 ø
p r æ t ö æ p r ö æ p t ö
æ 1 1ö 1 1 æ 1 1ö (b) ´ ç - ÷ = ç ´ ÷ - ç ´ ÷
So lu tion : ç + ÷ + = + ç + ÷ q s è u ø è q sø è q u ø
è 4 2 ø 5 4 è 2 5 ø

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Mathematics In Focus - 7