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2. Ex press each of the fol low ing in ex po nen tial form.
-3 -3 -3 -3
(a) 5 5 5 5´ ´ ´ (b) ´ ´ ´ (c) p p p p p´ ´ ´ ´
7 7 7 7
1 1 1
(d) ´ ´ (e) xy xy xy´ ´ (f) 31 31 31 31 31´ ´ ´ ´
10 10 10
(g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- ´ - ´ - ´ - ´ - ´ - ´ -a a a a a a a
3. Prove that:
2 9
3 æ ö
5
3
(a) ( )5 = 125 (b) (-1 ) 11 = -1 (c) (-3 ) = -243 (d) ç ÷ =
7 è ø 49
3 6 4 3
æ 1 ö 1 æ - ö 2 64 æ 1 ö 1 æ 4 ö -64
(e) ç - ÷ = - (f) ç ÷ = (g) ç ÷ = (h) - ÷ =
ç
è 8 ø 512 è 3 ø 729 è 10 ø 10000 è 3 ø 27
4
2 æ ö 16
(i) ç ÷ =
5 è ø 625
4. Ex press each ra tio nal num ber us ing an ex po nent.
1 125 1 1
(a) (b) (c) (d)
121 216 625 1000
8 1
(e) (f) -
343 32

Laws of Exponents æ 3 2 æ 3 5 æ 3 2 + 5 æ 3 7
- ö
- ö
- ö
- ö
ç ÷ ´ ç ÷ = ç ÷ = ç ÷
Exponents are used in solving many problems, è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø
so it is important that we understand the laws From the above ex am ples, we can de duce
for working with exponents. Let us discuss the fol low ing law:
these laws one by one, and see some examples.
“While multiplying two rational numbers with
A. Prod uct Law
the same base, we add their exponents but the
1. When bases are same but ex po nents are base remains unchanged, i.e. for any number “a”
different : with exponents m and n, this law is written as,
n
Con sider the fol low ing ex am ples a m ´ a = a m + n
2
3
´
2 ´ 2 = ( 2 2 2 ´( 2 2) 2. When bases are different but
´
´
)
2
2
= ´ ´ ´ ´2 ex po nents are same
2
2
= 2 5 We know that
3
3
2 ´ 5 = ( 2 ´ 2 ´ 2 ´ ( 5 ´ 5 ´ 5)
)
From the above, we can notice that the same
5
´
´
5
5
result can be obtained by adding the exponents = (2 ´ ) (2 ´ ) (2 ´ )
5
of two numbers. = (2 ´ ) 3
2
3
+
2 ´ 2 = 2 3 2 = 2 5 Similarly,
3
æ - ö 1 3 æ ö 3 æ é - ö 1 æ - ö 1 æ - ö 1 ù
Similarly, ç ÷ ´ ç ÷ = ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷
4
2 5 è 4 ø è ø ê è 4 ø è 4 ø è 4 ø ú û
ë
æ 3 æ 3 æ 3 æ 3 æ 3
- ö
- ö
- ö
- ö
- ö
ç ÷ ´ ç ÷ = ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ é 3 3 3
è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø æ ö æ ö æ öù
´ ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ ú
ê
4
4
4
æ 3 æ 3 æ 3 æ 3 ë è ø è ø è ø û
- ö
- ö
- ö
- ö
´ ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷
è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø æ 1 3 ö æ 1 3 ö
= - ´ ÷ ´ - ´ ÷
ç
ç
7 è 4 4 ø è 4 4 ø
æ 3
- ö
= ç ÷ 3 3 3
è 4 ø æ 1 ö æ 1 ö
´ - ´ ÷ = - ´ ÷
ç
ç
Again use the short method to find the result. è 4 4 ø è 4 4 ø
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Mathematics In Focus - 7