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According to the short method that we used for 8 8 æ 3 ö 7 æ 3 ö 4
ç
ç
finding the quotient: (i) 9 ¸ 3 (ii) - ÷ ¸ - ÷
ø
ø
è 11
è 11
5 2 5 - 2 3
æ 2 æ 2 æ 2 æ 2 9 2
- ö
- ö
- ö
- ö
ç ÷ ¸ ç ÷ = ç ÷ = ç ÷ æ 3ö æ 3ö 11 11
è 3 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø (iii) ç ÷ ¸ ç ÷ (iv) (14 ) ¸ (63 )
è 7 ø è 7 ø
Thus, from the above examples we can So lu tion :
suggest another law;
8
(i) 9 ¸ 3 8
“The division of two rational numbers with the 8
9
æ ö
same base can be performed by subtracting = ç ÷ = 3 8
3
their exponents”. Suppose ‘a’ is the base of any è ø
two rational numbers with exponents ‘m’ and n n æ a ö n
‘n’ such that a ¹ 0 and m n> , then Q a ¸ b = ç ÷
è
b ø
n
a m ¸ a = a m - n 7 4
æ 3
÷ ¸ -
ç
÷
ç
2. When bases are dif fer ent but ex po nents (ii) - ö æ 3 ö
è 11 ø è 11 ø
are same : 7 - 4 3
æ 3 æ 3
- ö
- ö
We know that: = ç ÷ = ç ÷
4 è 11 ø è 11 ø
æ 2ö æ 2ö æ 2ö æ 2ö æ 2ö
n
ç ÷ = ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ Q a m ¸ a = a m - n
è 3 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø 9 2
æ 3ö æ 3ö
Similarly, (iii) ç ÷ ¸ ç ÷
5 è 7 ø è 7 ø
æ x ö æ x ö æ x ö æ x ö æ x ö æ x ö
ç ÷ = ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ ´ ç ÷ æ ö 9 - 2 æ ö 7
3
3
è yø è yø è yø è yø è yø è yø = ç ÷ = ç ÷
è ø è ø
7
7
x ´ x ´ x ´ x ´ x x 5
n
= = = x 5 ¸ y 5 Q a m ¸ a = a m - n
y ´ y ´ y ´ y ´ y y 5 11 11
(iv) (14 ) ¸ (63 )
Thus, this law can be written as: æ14 ö 11 æ ö 11
2
For any two rational numbers “a” and “b”, = ç ÷ = ç ÷
9
è 63 ø è ø
where b ¹ 0 and “n” is their exponent, then, n
n n n æ a ö
æ
a ö
n
n
a ¸ b = ç ÷ Q a ¸ a = ç ÷
b ø
è
è b ø
Ex am ple 5. Sim plify
E xercise 5.3
1. Sim plify :
7
3
(a) 2 ¸ 2 2 (b) (-9 ) 11 ( ¸ -9 ) 8 (c) ( )3 4 ¸ ( ) 4 (d) ( )m ¸ ( ) 3
5
n
7 3 æ ö 2 1 æ ö 15 1 æ ö 11
3 æ ö
a
b
(e) ( )a 7 ¸ ( ) 2 (f) ( )b p ¸ ( ) q (g) ç ÷ ¸ ç ÷ (h) ç ÷ ¸ ç ÷
4 è ø 4 è ø 6 è ø 6 è ø
17 - ö 3 8 æ pö 23 æ pö
- ö 3
æ
æ
5
2
y
3
(i) ( ) ¸ ( ) 5 (j) ç ÷ ¸ ç ÷ (k) ( )x a ¸ ( ) a (l) ç ÷ ¸ ç ÷
è 10 ø è 10 ø è qø è qø
2. Prove that :
4 - ö 4 3
2 æ ö
4
8
3
4
(a) 2 ¸ 7 = ç ÷ (b) (-4 ) ¸ 5 3 æ ÷ (c) 3 ¸ 3 3 7
=
( ) = ç
7 è ø è 5 ø
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Mathematics In Focus - 7